МИРЭА. Типовой расчет-1 по Линейной Алгебре. Вариант-6.

МИРЭА. Московский Государственный Институт Радиотехники, Электроники и Автоматики (технический университет).

Электронная книга (DjVu-файл) содержит решения 7 задач из типового расчета по по алгебре и геометрии, предназначенных для студентов I курса дневного отделения. Задачи взяты из сборника типовых заданий для студентов МИРЭА. Составители: И.В.Артамкин,С.В.Костин, Л.П.Ромаскевич, А.И.Сазонов, А.Л.Шелепин. Редактор Ю.И.Худак (Издательство МИРЭА-2010). Вариант-6.

Решения задач оформлены в виде сканированного рукописного текста, собранного в единый документ объемом 16 страниц. Данный документ сохранен в формате DjVu, который открывается в окне Internet Explorer или Mozilla Firefox после установки вспомогательной программы (плагина). Ссылка для скачивания и установки DjVu-плагина прилагается. DjVu-файл, содержащий условия задач и их подробное решение, полностью готов к просмотру на компьютере и распечатке. Решения всех задач были успешно зачтены преподавателями МИРЭА.

Темы заданий типового расчета:

Задача 1. Поверхность второго порядка σ задана своим уравнением в прямоугольной декартовой системе координат.
1) Определить тип поверхности σ.
2) Изобразить поверхность σ.
3) Нарисовать сечения поверхности σ координатными плоскостями. Найти фокусы и асимптоты полученных кривых.
4) Определить, по одну или по разные стороны от поверхности σ лежат точки M1 и M2.
5) Определить, сколько точек пересечения с поверхностью σ имеет прямая, проходящая через точки M1 и M2.

Задача 2. Дано комплексное число z.
1) Записать число z в показательной, тригонометрической и алгебраической форме, изобразить его на комплексной плоскости.
2) Записать в показательной, тригонометрической и алгебраической форме число u=z^n,
где п = (–1)^N*(N + 3) при N ≤ 15, п = (–1)^N*(N – 12) при N ≥ 16, N – номер варианта.
3) Записать в показательной и тригонометрической форме каждое значение w_k (k = 0, 1, ..., m – 1) корня степени m= 3 (нечетные варианты) или m= 4 (четные варианты) из числа z.
4) Изобразить число z и числа w_k на одной комплексной плоскости.

Задача 3. Дан многочлен p(z) = a*z^4+b*z^3+c*z^2+d*z+e.
1) Найти все корни многочлена p(z). Записать каждый корень в алгебраической форме, указать его алгебраическую кратность.
2) Разложить многочлен p(z) на неприводимые множители:
а) в множестве С комплексных чисел; б) в множестве R действительных чисел.

Задача 4. Пусть P_n ― линейное пространство многочленов степени не выше n с действительными коэффициентами. Множество M из P_n состоит из всех тех многочленов p(t), которые удовлетворяют указанным условиям.
1) Доказать, что множество М - подпространство в P_n.
2) Найти размерность и какой-либо базис подпространства М.
3) Дополнить базис подпространства М до базиса P_n.

Задача 5. Доказать, что множество M образует подпространство в пространстве M mxn всех матриц данного размера. Найти размерность и построить базис M. Проверить, что матрица B принадлежит M и разложить ее по базису в M.

Задача 6*. Доказать, что множество M функций x(t), заданных на области D образует линейное пространство. Найти его размерность и базис.

Задача 7. Даны векторы а = OA, b = OB, с = OC, d = OD. Лучи ОА, ОВ и ОС являются ребрами трехгранного угла Т.
1) Доказать, что векторы a, b, c линейно независимы.
2) Разложить вектор d по векторам a, b, c (возникающую при этом систему уравнений решить с помощью обратной матрицы).
3) Определить, лежит ли точка D внутри T, вне Т, на одной из границ T (на какой?).
4) Определить, при каких значениях действительного параметра λ вектор d + λa, отложенный от точки O, лежит внутри трехгранного угла Т.